نیروی وارد بر زره باردار متحرک در میدان الکتریکی

یکی از اهداف فیزیک، مطالعه درباره ی این است که؛ چگونه یک میدان مغناطیسی می تواند نیروی مغناطیسی به یک ذره ی باردار متحرک یا یک شیء مغناطیسی (مثل آهنربا) وارد کند. کاربرد های میدان های مغناطیسی و نیروهای مغناطیسی بیشمار است و هر ساله با سرعت زیاد تغییر می کند. در این جا چند مثال ساده از کاربردهای میدان های مغناطیسی در زندگی روزمره را بیان می کنیم؛ ضبط مغناطیسی موسیقی و تصاویر بر روی نوار کاست و ویدئو، آهنرباهای استفاده شده در بلند گوها و هدفون ها، استفاده از مواد مغناطیسی در اتومبیل های پیشرفته و به طور خلاصه، ما توسط مواد مغناطیسی محاصره شده ایم.

چه چیزی میدان مغناطیسی تولید می کند؟

چون میدان الکتریکی توسط بار الکتریکی بوجود می آید، ما باید انتظار داشته باشیم که میدان مغناطیسی نیز توسط بار مغناطیسی بوجود می آید. اگر چه بارهای مغناطیسی منفرد (تک قطبی مغناطیسی) توسط برخی نظریه ها پیشگویی شده است، اما وجودش تایید نشده است. پس میدان مغناطیسی چگونه تولید می شود؟ دو روش وجود دارد.

یک روش، استفاده از بارهای الکتریکی متحرک، از قبیل جریان در یک سیم، برای تولید یک آهنربای الکتریکی است. جریان یک میدان مغناطیسی تولید می کند برای مثال می تواند در کامپیوتر ها یا بلند کردن تکه های فلز شکل مورد استفاده قرار گیرد.

روش دیگر تولید میدان مغناطیسی، بوسیله ذرات بنیادی مانند الکترون هاست، چون این ذرات یک میدان مغناطیسی ذاتی اطراف خود دارند. میدان مغناطیسی ویژگی اساسی (مانند جرم و بار الکتریکی) هر ذره است. میدان مغناطیسی الکترون ها می توانند به صورتی با هم جمع شوند که یک میدان مغناطیسی خالص اطراف ماده ایجاد و یک آهنربای دائمی تولید کنند.

تعریف میدان مغناطیسی

ما قبلا میدان الکتریکی E را با گذاشتن بار آزمون q در نقطه ی مورد نظر و اندازه گیری نیروی الکتریکی F_E وارد بر آن به صورت زیر تعریف کردیم:

(1-28)

اگر یک تک قطبی مغناطیسی در دسترس بود، ما می توانستیم میدان مغناطیسی B را به روشی شبه به روش بالا تعیین کنیم. چون هنوز چنین ذره ای پیدا نشده است ما باید میدان مغناطیسی را به روش دیگری تعیین کنیم.

در اصل، ما در این روش یک ذره باردار را به نقطه ای که می خواهیم میدان مغناطیسی را در آن تعیین کنیم در جهت های مختلف و با سرعت های مختلف شلیک می کنیم. با محاسبه نیروی مغناطیسی F_B وارد شده روی ذره باردار در آن نقطه ی می توانیم میدان مغناطیسی را تعیین کنیم. ما مشاهده می کنیم که اگر ذره باردار با سرعت v در جهتی پرتاب شود که نیروی مغناطیسی وارد به آن صفر شود، برای تمام جهت های دیگر v نیروی مغناطیسی F_B متناسب با v sinϕ خواهد بود. در اینجا ϕ زاویه بین محور صفر – نیرو و جهت v است. بعلاوه، نیروی مغناطیسی همیشه عمود بر جهت v است.

ما می توانیم میدان مغناطیسی B را یک کمیت برداری در جهت محور صفر – نیرو تعریف کنیم. سپس، با اندازه گیری نیروی مغناطیسی F_B وقتی جهت v عمود بر محور صفر – نیرو باشد، بزرگی میدان مغناطیسی را به صورت زیر تعریف می کنیم:

(2-28)

که در آن q بار ذره است. ما می توانی همه ی این نتایج را به شکل معادله ی برداری زیر بنویسیم:

(3-28)

با استفاده از تعریف ضرب برداری، ما می توانیم بزرگی نیروی مغناطیسی را به شکل زیر بنویسیم:

(4-28)

که در آن ϕ زاویه بین جهت میدان مغناطیسی B و جهت v است.

پیداکردن نیروی مغناطیسی وارد بر ذره

معادله ی 28-4، به ما می گوید که بزرگی نیروی F_B وارد شده بر ذره باردا در یک میدان مغناطیسی متناسب است با بار q و سرعت v ذره. بنابراین، اگر بار صفر یا ذره ساکن باشد، نیروی مغناطیسی نیز صفر خواهد شد. همچنین معادله ی 28-4، به ما می گوید که اگر v و B هم جهت (ϕ=0˚) یا در خلاف جهت (ϕ=180˚) یکدیگر باشند، نیروی مغناطیسی F_B صفر خواهد شد.

با توجه به معادله ی28-3، ما می توانیم با استفاده از قاعده ی دست راست، جهت نیروی مغناطیسی را تعیین کنیم. شکل 28-2، اگر چهار انگشت دست راست بردار سرعت را به سمت بردار میدان مغناطیسی جاروب کند، شست دست راست جهت نیروی وارد بر بار مثبت را نشان می دهد. و اگر بار ذره منفی باشد، نیرو در خلاف جهت شست دست راست خواهد بود.

شکل 28-2، پیدا کردن جهت نیروی وارد بر ذره ی باردار متحرک در میدان مغناطیسی با استفاده از قانون دست راست.

توجه داشته باشید که "نیروی F_B وارد شده بر یک ذره ی باردار متحرک با سرعت v در یک میدان مغناطیسی B همیشه عمود بر v و B است."

بنابراین F_B هیچ مولفه ای موازی با v ندارد، که به این معنی است که نیروی مغناطیسی نمی تواند سرعت ذره را تغییر بدهد و از این رو انرژی جنبشی ذره تغییر نمی کند. نیرو فقط می تواند جهت سرعت (و بنابراین مسیر حرکت) را تغییر دهد.

شکل 28-3، مسیر حرکت بار های مثبت و منفی را در یک اتاقک حباب نشان می دهد. اتاقک با هیدروژن مایع پر شده است و میدان مغناطیسی یکنواخت برون سو (عمود بر صفحه شکل به طرف خارج) در آن وجود دارد.

یکای میدان مغناطیسی در SI نیوتون بر کولن – متر بر ثانیه است، که تسلا (T) نامیده می شود:

(5-28)

یکای رایج دیگر برای میدان مغناطیسی، گاوس (G) است:

(6-28)

خطوط میدان مغناطیسی

ما می توانیم میدان مغناطیسی را با خطوط میدان - همانند میدان الکتریکی - نشان دهیم. با به کار گیری قواعد مشابه؛ (1) جهت خط مماس بر خطوط میدان در هر نقطه جهت میدان مغناطیسی را در آن نقطه می دهد، و (2) چگالی خطوط بیانگر بزرگی B است.

شکل 28-4، خطوط میدان مغناطیسی را در نزدیکی یک آهنربای میله ای نشان می دهد. خطوط از میان آهنربا عبور می کند و حلقه های بسته را تشکیل می دهند. خطوط (بسته ی) میدان از یک انتهای آهنربا شده و از انتهای دیگر آن خارج می شوند. آن انتهای آهنربا که خطوط از آن خارج می شوند قطب شمال آهنربا نامیده می شود.و انتهای دیگر که خطوط وارد آن می شوند، قطب جنوب آهنربا نامیده می شود. چون یک آهنربا دو قطب دارد به آن دوقطبی مغناطیسی گفته می شود.

"قطب های مغناطیسی مخالف یکدیگر را جذب می کنند و قطب های مغناطیسی موافق یکدیگر را دفع می کنند."

زمین میدان مغناطیسی دارد که توسط مکانیسم ناشناخته ای در هسته ی آن تولید می شود. روی سطح زمین، ما می توانیم این میدان مغناطیسی را با استفاده از یک قطب نما یا عقربه ی مغناطیسی مشاهده کنیم. چون قطب شمال قطب نما رو به شمال می ایستد، نتیجه می گیریم که قطب شمال جغرافیایی زمین قطب جنوب مغناطیسی آن است و قطب جنوب جغرافیایی زمین قطب شمال مغناطیسی آن است.

شکل 28-5، (a) یک آهنربای نعل اسبی و (b) یک آهنربای c شکل. (فقط خطوط میدان خارجی نمایش داده شده است).

میدان های متقاطع: کشف الکترون

میدان های الکتریکی و میدان های مغناطیسی می توانند به ذره ی باردار نیرو وارد کنند. وقتی این دو میدان بر هم عمود باشند، به آن ها میدان های متقاطع گفته می شود. شکل 28-6، یک نمونه ساده شده از آزمایش تامسون (که منجر به کشف الکترون شد) – لامپ پرتوی کاتدی – را نشان می دهد. ذرات باردا، (که حالا ما می دانیم الکترون هستند) از یک رشته ی داغ در انتهای لامپ خلاء منتشر می شوند و توسط اختلاف پتانسیل V شتاب می گیرند. پس از عبور از سوراخ پرده C، به شکل پرتوی باریکی در می آیند. سپس با عبور از ناحیه ی با میدان های متقاطع E و B به پرده ی فلئورسنت S برخورد می کنند و یک نقطه ی نورانی تولید می کنند. نیروهای وارد بر ذره باردار در ناحیه ی میدان های متقاطع می تواند آن ها را از مرکز پرده منحرف کند. تامسون با کنترل بزرگی میدان های الکتریکی و مغناطیسی، توانست مکان نقاط نورانی را در پرده ی S کنترل کند. رویه ی تامسون در این آزمایش از سه مرحله تشکیل شده بود:

1. قرار دادن E=0 و B=0 و تعیین نقطه نورانی ناشی از پرتوی منحرف نشده روی پرده ی S .

2. روشن کردن میدان E و اندازه گیری انحراف پرتو.

3. برقراری میدان E و روشن کردن میدان B و تنظیم نمودن مقدار آن تا پرتو به مکان اولیه خود ( پرتوی منحرف نشده) بر گردد.

شکل 28-6، نمونه ای از دستگاه تامسون برای اندازه گیری نسبت جرم به بار الکترون. (لامپ پرتوی کاتدی).

قبلا ما انحراف یک ذره باردار را در میدان الکتریکی E بین دو صفحه (مرحله ی 2) محاسبه کردیم:

(7-28)

که در آن v سرعت ذره، m جرم ذره، q بار ذره و L طول صفحه هاست. وقتی دو میدان در شکل 28-8، به گونه ای تظیم شوند که دو نیروی منحرف کنند یکدیگر را حذف کنند، می توانیم بنوسیم:

(8-28)

یا:

(9-28)

بنابراین میدان های متقاطع، به ما اجازه می دهند تا سرعت ذره ی بارداری را که از درون آن ها می گذرد اندازه بگیریم. با قرار دادن مقدار v از معادله ی بالا در معادله ی 28-7، خواهیم داشت:

(10-28)

تمام کمیت های سمت راست معادله ی بالا قابل اندازه گیری است. بنابراین، میدان های متقاطع امکان اندازه گیری نسبت بار به جرم برای ذرات متحرک را می دهد.

میدان های متقاطع: اثر هال

همان طور که دیدیم، الکترون ها ی متحرک در خلاء را می توان با استفاده از میدان مغناطیسی منحرف کرد. آیا می توانیم الکترون های رسانش یک سیم مس را بوسیله ی میدان مغناطیسی منحرف کرد؟ در سال 1879 ادوین هال، نشان داد که می توان این کار را کرد. اثر هال به ما اجازه می دهد که بفهمیم آیا حامل های بار در یک رسانا مثبت هستند یا منفی. علاوه بر این، ما می توانیم تعداد حامل های بار بر واحد حجم رسانا را اندازه گیری کنیم.

شکل 28-7، یک قطعه ی مسی به عرض d را نشان می دهد که جریان i از بالا به پایین آن بر قرار است. حامل های بار الکترون ها هستند، و ما می دانیم که آن ها با سرعت سوق v_d در جهت مخالف از پایین به بالاحرکت می کنند. میدان مغناطیسی خارجی B نیز به صورت برون سو عمود بر صفحه شکل 28-7 (b) قرار دارد. با توجه به معادله ی 28-3، مشاهده می کنیم که الکترون های رسانش توسط نیروی منحرف کننده ی F_B به طرف لبه ی راست قطعه هل داده می شوند. الکترون ها به سمت راست حرکت می کنند و یک ستون از الکترون در لبه سمت راست بوجود می آورند، و به دنبال آن، بار های مثبت نیز در لبه سمت چپ قرار می گیرند. بار های منفی در سمت راست و بارهای مثبت در سمت چپ، یک میدان الکتریکی E از چپ به راست درون قطعه ایجاد می کنند. این میدان یک نیروی F_E را به الکترون ها وارد می کند و آن ها را به سمت راست هل می دهد.

در حالت تعادل نیروی الکتریکی به اندازه ی کافی افزایش یافته و با نیروی مغناطیسی برابری می کند. وقتی این اتفاق می افتد، شکل 28-7 (b)، نیروی ناشی از B و نیروی ناشی از E متعادل خواهند بود. و الکترون های رسانش بدون انحراف و تجمع بیشتر در لبه ی سمت راست با سرعت v_d به طرف بالا ی قطعه حرکت می کنند، بنابراین میدان الکتریکی بیشتر از این افزایش نخواهد یافت.

اختلاف پتانسیل هال V به میدان الکتریکی در عرض قطعه وابسته است، و بزرگی آن برابر است با:

(11-28)

وقتی نیروی الکتریکی و نیروی مغناطیسی در تعادل اند، می توانیم بنویسیم:

(12-28)

قبلا اثبات کردیم که سرعت سوق برابر است با:

(13-28)

که در آن J چگالی جریان، A مساحت سطح مقطع قطعه، و n چگالی عددی حامل های بار است. با استفاده از سه معادله ی بالا، ما می توانیم بنویسیم:

(14-28)

که در آن l=A/d ضخامت قطعه است. با این معادله ما می توانیم n را با استفاده از کمیت های قابل اندازه گیری تعیین کنیم. همچنین ما می توانیم با استفاده از اثر هال، سرعت سوق را مستقیما اندازه بگیریم؛ در این آزمایش قطعه ی فلزی را در خلاف جهت سرعت سوق حامل های بار حرکت می دهیم. سرعت حرکت قطعه را طوری تنظیم می کنیم که اختلاف پتانسیل هال صفر شود. در این شرایط اثر هال وجود ندارد، و سرعت حرکت حامل های بار نسبت به چارچوب آزمایشگاه باید صفر باشد. بنابراین در این شرایط سرعت قطعه برابر است با سرعت سوق حامل های بار منفی اما در جهت مخالف.

ذره باردار دوار

اگر ذره ای در یک مدار دایره ای با سرعت ثابت حرکت کند، بزرگی نیروی خالص وارد بر ذره ثابت، عمود بر جهت سرعت و به طرف مرکز دایره است. شکل 28-3، باریکه ای از الکترون ها را نشان می دهد که توسط یک تفنگ الکترونی به داخل یک اتاقک پرتاب شده است. الکترون ها با سرعت vدر صفحه ی شکل وارد ناحیه ای با میدان مغناطیسی یکنواخت B (جهت میدان به سمت خارج از صفحه ی شکل 28-8، است) می شوند. نیروی مغناطیسی F_B پیوسته ذره را منحرف می کند و چون v و B همیشه بر هم عمود اند، الکترون در یک مدار دایره ای حرکت می کند. بزرگی نیروی مغناطیسی وارد بر ذره برابر است با |q|vB . با استفاده از قانون دوم نیوتون (F=ma) برای حرکت یکنواخت دایره ای:

(15-28)

خواهیم داشت:

(16-28)

که در آن r شعاع مسیر دایره ای است:

(17-28)

دوره ی T برابر است با محیط تقسیم بر سرعت:

(18-28)

بسامد f برابر است با:

(19-28)

بسامد فرکانس زاویه ای ω حرکت برابر است با:

(20-28)

کمیت های T، f و ω به سرعت ذره بستگی ندارد. ذرات سریع در دایره های بزرگتری حرکت می کنند و ذرات کند تر در دایره های کوچکتری حرکت می کنند. و ذراتی که نسبت بار به جرم |q|/m یکسانی دارند، دوره ی تناوب یکسانی دارند.

مسیرهای مارپیچی

اگر سرعت ذره باردار مولفه ای موازی با میدان مغناطیسی (یکنواخت) داشته باشد، ذره در یک مسیر مارپیچی حول بردار میدان مغناطیسی حرکت خواهد کرد. شکل 28-9 (a)، نشان می دهد که بردار سرعت یک ذره به دو مولفه ی موازی با B و عمود بر B تجزیه شده است:

(21-28)

مولفه ی موازی، گام p مارپیچ – که مسافت بین دو چرخش مجاور است – را تعیین می کند. مولفه ی عمودی شعاع مارپیچ را تعیین می کند و کمیتی است که در معادله ی به جای v جایگزین می شود.

شکل28-9 (c) مارپیچ حرکت یک ذره ی باردار در میدان مغناطیسی نایکنواخت را نشان می دهد. خطوط نزدیک به هم در انتهای سمت چپ و راست شکل28-9 (c)، اشاره می کند که میدان مغناطیسی در دو انتهای آن قوی تر است. وقتی میدان در انتهای به اندازه ی کافی قوی باشد، ذره از آن انتها بازتاب پیدا می کند. اگر ذره از هر دو انتها بازتاب پیدا کند، گفته می شود که در بطری مغناطیسی به دام افتاده است.

شکل 28-9، (a) یک ذره باردار که در میدان مغناطیسی یکنواخت B با سرعت v و زاویه ی ϕ نسبت به میدان حرکت می کند. (b) حرکت مارپیچی ذره در میدان مغناطیسی یکنواخت. (c) حرکت مارپیچی ذره در یک میدان مغناطیسی نایکنواخت.

سیکلوترون و سینکروترون

باریکه ای از ذرات پر انرژی مانند الکترون های و پروتون های پر انرژی، برای کاوش اتم ها و هسته ها و آشکار کردن ساختارهای بنیادی مواد مفید هستند. چگونگی تولید و کنترل چنین باریکه هایی یکی از چالش های بزرگ در این زمینه است. چون الکترون ها و پروتون ها باردار هستند، اگر در اختلاف پتانسیل بالایی حرکت کنند، می توانند شتاب لازم برای کسب انرژی های بالا را بدست آورند. چون الکترون ها جرم کمی دارد، شتابگیری آن ها در یک مسافت معقول صورت می گیرد. درحالی که، پروتون ها و دیگر ذرات باردا جرم بزرگتری دارند، مسافت لازم برای شتاب گیری آن ها خیلی طولانی است.

سیکلوترون

شکل 28-10، نمایی از بالای یک سیکلوترون را نشان می دهد. دو کاواک D-شکل (که در لبه ی تخت خود باز هستند) از ورقه مسی ساخته شده اند. این D ها قسمتی از یک نوسانگر الکتریکی که اختلاف پتانسیل الکتریکی بین شکاف D ها را متناوب می کند. علامت الکتریکی D ها به طور تناوبی تغییر کرده و باعث می شود جهت میدان الکتریکی ایجاد شده در شکاف بین دو D متناوبا تغییر کند. ابتدا به سمت یک D و سپس به سمت D دیگر. D ها در یک میدان مغناطیسی قوی در جهت خارج از صفحه شکل قرار گرفته اند.

فرض کنید یک پروتون از منبع S در مرکز سیکلوترون شکل 28-10، تزریق می شود. ابتدا به سمت D که به صورت منفی باردار شده است حرکت می کند و وارد آن می شود. چون D ها از دیواره ای مسی ساخته شده اند و یک پوسته ی مسی به شمار می روند میدان الکتریکی درون D ها وجود ندارد و پروتون ها درون D ها فقط توسط میدان مفناطیسی شتاب می گیرند و در یک مسیر دایره ای به شعاع r=mv/|q|B حرکت می کنند. هنگامی که پروتون از یک D وارد شکاف مرکزی بین D ها می شود، اختلاف پتانسیل بین D ها معکوس شده. بنابراین پروتون دوباره به D ی با بار منفی وارد می شود و دوباره شتاب می گیرد. این فرایند ادامه پیدا می کند تا پروتون در یک مسیر مارپیچی حرکت کند و در انتها توسط صفحه ی منحرف کننده از دستگاه خارج شود. نکته ی کلیدی در عملکرد این دستگاه این است که بسامد f حرکت دایره ای پروتون در میدان مغناطیسی باید با بسامد f_osc نوسان ساز الکتریکی برابر باشد، یا:

(22-28)

شرایط تشدید، بیانگر این مطلب است که اگر انرژی پروتون دوار افزایش یابد، بسامد f_osc برابر است با بسامد طبیعی f که پروتون در یک میدان مغناطیسی دوران می کند.

با استفاده از معادله ی 28-20 و معادله ی 28-22 می توانیم شرایط تشدید را به شکل زیر بنویسیم:

(23-28)

سینکروترون

برای پروتون هایی با انرژی بالای 50MeV ، سیکلوترون های مرسوم به به درستی کار نمی کنند. چون ما در طراحی آن فرض کردیم که فرکانس چرخش ذرات باردار در میدان مغناطیسی مستقل از سرعت ذرات است و این فقط برای سرعت هایی که خیلی از سرعت نور کمتر هستند درست است. برای پروتون هایی با سرعت بالا( بالای 10% سرعت نور)، ما باید با مسئله به صورت نسبیتی برخورد کنیم. طبق نظریه ی نسبیت، بسامد چرخش پروتون به طور پیوسته کاهش می یابد. بنابراین، پروتون دیگر با نوسان ساز سیکلوترون هماهنگ نیست و افزایش انرژی آن متوقف می شود. مشکل دیگر، برای پروتونی با انرژی 500GeV در میدان مغناطیسی 1.5T ، شعاع مسیر 1.1km است. آهنربای متناظر با این سیکلوترون قراردادی به طور غیر ممکنی گران است، (مساحت بین دو قطب آن حدود 4×10⁶m² خواهد بود.)

سینکروترون پروتون طراحی شد تا این دو مشکل را حل کند. میدان مغناطیسی B و بسامد نوسان ساز f_osc به جای اینکه همانند سیکلوترون مرسوم ثابت باشند، به گونه ای طراحی شد که با زمان تغییر کنند. وقتی این تنظیمات به شکل مناسبی انجام شود؛ (1) بسامد چرخش پروتون با بسامد نوسان ساز در همه ی زمان ها هماهنگ می شود، و (2) پروتون یک مسیر دایره ای را – نه یک مسیر مارپیچی – طی می کند. بنابراین آهنربا فقط در طول مسیر مورد نیاز است. سینکروترون پروتون در ایلی نویز (Fermilab) محیطی برابر با 6.3km دارد و می تواند پروتون هایی با انرژی بالای 1TeV(=10¹²eV) تولید کند.

نیروی مغناطیسی وارد بر سیم حامل جریان

قبلا در اثر هال دیدیم که میدان مغناطیسی، به الکترون های متحرک درون نیروی سیم نیرویی رو به پهلو وارد می کند. چون الکترون ها نمی توانند از درون سیم به بیرون فرار کنند این نیرو به خود سیم وارد می شود. شکل 28-11 (a)، سیم عمودی را نشان می دهد که در یک میدان مغناطیسی برون سو قرار دارد، جریانی از این سیم عبور نمی کند و در دو انتهای خود ثابت شده است. اگر جریان رو به بالای i در سیم برقرار شود، شکل28-11 (b)، سیم به سمت راست خم می شود و اگر جریان رو به پایین i در سیم برقرار شود، شکل28-11 (c)، سیم به سمت چپ خم می شود. شکل28-12، نشان می دهد که چه اتفاقی درون سیم شکل 28-11 (b) می افتد. ما می بینیم که الکترون های رسانش با سرعت v_d ، عمود بر میدان مغناطیسی به طرف پایین حرکت می کنند، بنابراین بزرگی نیروی وارد بر هر الکترون برابر است با ev_dB و جهت این نیرو با توجه به قاعده ی دست راست به سمت راست است. اگر طول L از سیم را درنظر بگیریم، همه ی الکترون های رسانش این قسمت از سیم در زمان t=L/v_d از صفحه ی xx عبور می کنند. بنابراین در زمان t ، بار:

(24-28)

از صفحه ی xx عبور می کند. با قرار دادن این بار در معادله ی 28-4، خواهیم داشت:

(25-28)

یا:

(26-28)

توجه داشته باشید که این معادله نیروی وارد بر طول L که حامل جریان i است و به صورت عمود در یک میدان مغناطیسی قرار گرفته است را می دهد. اگر میدان مغناطیسی عمود بر سیم نباشد، نیروی مغناطیسی توسط معادله زیر داده می شود:

(27-28)

که در آن L بردار طول در امتداد سیم و در جهت جریان i است. بزرگی نیروی مغناطیسی وارد بر سیم حامل جریان برابر است با:

(28-28)

که در آن ϕ زاویه ی بین جهت L و B است. معادله ی با معادله ی هم ارز است و بنابراین می تواند برای تعریف میدان مغناطیسی B مورد استفاده قرار گیرد. ما میدان الکتریکی را با استفاده از معادله ی تعریف می کنیم چون اندازه گیری نیروی مغناطیسی روی یک سیم آسانتر از اندازه گیری آن روی یک بار متحرک است.

اگر سیم حامل جریان مستقیم نباشد یا میدان مغناطیسی یکنواخت نباشد، ما می توانیم سیم را به قطعات کوچک و مستقیم، تقسیم کنیم و معادله ی 28-27، را برای هر قطعه به کار ببریم. در این صورت، نیروی وارد بر کل سیم برابر است با جمع کل تک تک این نیرو ها. در حد دیفرانسیلی، می توانیم بنویسیم:

(29-28)

گشتاور نیروی وارد بر حلقه ی جریان

امروزه بسیاری از کارهای جهان توسط موتور الکتریکی انجام می شود. نیرویی که این کارها را انجام می دهد، نیروی مغناطیسی است. شکل28-14 یک موتور الکتریکی ساده را نشان می دهد، که از یک حلقه حامل جریان در یک میدان مغناطیسی تشکیل شده است. دو نیروی مغناطیسی F و –F یک گشتاور روی حلقه ایجاد می کنند و باعث دوران حلقه حول محور مرکزی می شوند. شکل 28-15(a) یک حلقه ی مستطیلی با اضلاع a و b را نشان می دهد که جریان i از آن عبور می کند و در میدان مغناطیسی یکنواخت B قرار گرفته است. برای تعریف جهت گیری حلقه در میدان مغناطیسی، ما از بردار عمود n که عمود بر صفحه ی حلقه است استفاده می کنیم. شکل 28-15(b) قاعده ی دست راست را برای تعیین جهت n نشان می دهد. با توجه به شکل اگر جهت خم شدن چهار انگشت دست راست در جهت جریان حلقه باشد، شست دست راست جهت n رانشان می دهد. نیروی خالص وارد بر حلقه برابر است با جمع برداری نیرو های وارد بر هر چهار ضلع مستطیل. برای ضلع 2 اندازه یبردار L برابر با b و زاویه آن با B برابر است با 90˚–θ. بنابراین بزرگی نیروی وارد بر آن برابر است با:

(30-28)

به راحتی می توان نشان داد که اندازه ی نیروی وارد بر ضلع 4 نیز برابر با مقدار بالاست اما در جهت مخالف. بنابراین F₂ و F₄ یکدیگر را حذف می کنند. برای ضلع های 1 و 3 بزرگی نیروی F₁ و F₃ برابر است با iaB . چون این دو نیرو در خلاف جهت یکدیگر اند حلقه به پایین یا بالا حرکت نمی کند. به هر حال، همان طور که شکل نشان می دهد، این دو نیرو می توانند یک گشتاور خالص ایجاد کنند. و این گشتاور تمایل دارد که حلقه را طوری بچرخاند که بردار n با B هم جهت شود. بازوی گشتاور حول محور مرکزی حلقه b/2 sin θ است، بنابراین بزرگی گشتاور وارد شده به حلقه توسط نیروهای F₁ و F₃ برابر است با (به شکل 28-15نگاه کنید):

(31-28)

اگر ما تک حلقه را با یک سم پیچ با N حلقه (دور) جایگزین کنیم، و فرض کنیم که تقریبا تمام حلقه ها ابعاد یکسانی دارند و در یک صفحه قرار دارند، بزرگی گشتاور کل وارد بر سیم پیچ برابر است با:

(32-28)

که در آن A مساحت سطح سیم پیچ است. مساحت داخل پرانتز خصوصیات سیم پیچ است. معادله ی 28-32 برای هر سیم پیچ تختی که در میدان مغناطیسی یکنواخت قرار دارد قابل استفاده است. برای مثال، برای یک سیم پیچ دایره ای با شعاع r خواهیم داشت:

(33-28)

در یک موتور، هنگامی که بردار n با میدان B هم جهت شد، جهت جریان در سیم پیچ معکوس می شود تا دوباره هم جهت شدن n با میدان B ادامه پیدا کند، بنابراین گشتاور، به طور پیوسته سیم پیچ را می چرخاند. معکوس کردن خودکار جریان توسط جابجاگر (commutator) انجام می گیرد.

شکل 28-15، (a) یک حلقه ی مستطیل شکل در میدان مغناطیسی. (b) تعیین جهت بردار عمود بر سطح حلقه. (c) نمایش همان حلقه ی مستطیلی از ضلع 2.

گشتاور دو قطبی مغناطیسی

سیم پیچ حامل جریان نیز می تواند مانند آهنربای میله ای یک دو قطبی مغناطیسی درنظر گرفته شود. و برای محاسبه گشتاور وارد بر سیم پیچ در یک میدان مغناطیسی، ما یک گشتاور دوقطبی مغناطیسی μبرای سیم پیچ درنظر می گیریم. جهت μ در جهت بردار عمود n بر سطح سیم پیچ است. بنابراین از قاعده ی دست راست تعیین می شود. شکل 28-16. بزرگی گشتاور دوقطبی مغناطیسی به صورت زیر تعریف می شود:

(34-28)

که در آن N تعداد دورها ی سیم پیچ، i جریان سیم پیچ ، و A مساحت هر یک از دور های سیم پیچ است. با توجه به معادله ی بالا، یکای μ برابر است با آمپر – متر مربع.

ما می توانیم معادله ی 28-32، را با استفاده از μ به صورت زیر بنویسیم:

(35-28)

که در آن θ زاویه ی بین بردار μ و B است.ما می توانیم این معادله را به شکل برداری زیر بنویسیم:

(36-28)

اگر به خاطر بیاوریم این معادله به معادله ی گشتاور ناشی از میدان الکتریکی روی یک دوقطبی الکتریکی بسیار شبیه است:

(37-28)

یک دوقطبی مغناطیسی در یک میدان مغناطیسی خارجی، انرژی دارد که به جهت گیری دوقطبی در میدان وابسته است. برای دو قطبی الکتریکی ما نشان دادیم که:

(38-28)

با یک مقایسه، ما می توانیم انرژی پتانسیل دوقطبی مغناطیسی در میدان مغناطیسی را به صورت زیر بنویسیم:

(39-28)

هنگامی که گشتاور دوقطبی در جهت میدان مغناطیسی باشد، دوقطبی مغناطیسی کمترین انرژی (-μBcos0=-μB) را دارد. و وقتی که گشتاور دوقطبی در خلاف جهت میدان مغناطیسی باشد، دوقطبی مغناطیسی بیشترین انرژی(-μBcos180=+μB) را دارد. با توجه به معادله ی 28-39، ما می بینیم که یکای μ می تواند ژول بر تسلا نیز باشد. اگر یک گشتاور به کار رفته (توسط عامل خارجی) یک دوقطبی مغناطیسی را از جهت گیری اولیه θ_i به جهت گیری نهایی θ_f بچرخاند، کار W_a انجام شده روی دوقطبی مغناطیسی، اگر دوقطبی قبل و بعد از حرکت ساکن باشد توسط گشتاور اعمال شده برابر است با:

(40-28)

که در آن U_i و U_f از معادله ی 28-39 محاسبه می شود. تا کنون ما فقط سیم پیچ حامل جریان را دوقطبی مغناطیس درنظر گرفتیم. در حالی که، یک آهنربای میله ای نیز یک دوقطبی مغناطیسی است، زمین نیز به تنهایی (تقریبا) یک دوقطبی مغناطیسی است. سرانجام، بیشتر ذرات زیر اتمی، شامل الکترون، پروتون، و نوترون گشتاور دوقطبی مغناطیسی دارند.

شکل 28-1،یک آهنربای الکتریکی برای جمع کردن و انتقال قطعات فلز.

شکل 28-3، مسیر حرکت الکترون و پوزیترون در یک اتاقک حباب که میدان مغناطیسی یکنواخت به طرف بیرون صفحه ی شکل در آن برقرار است

جدول 28-1، برخی میدان های مغناطیسی

شکل 28-4، (a) خطوط میدان مغناطیسی برای آهنربای میله ای. (b) براده های آهن جذب شده توسط آهنربای میله ای.

شکل 28-7، (a) یک قطعه مس که حامل جریان i است و در میدان مغناطیسی B قرار گرفته است. (b) نیروی وارد بر حامل های بار و تفکیک بارها در لبه های قطعه مسی و ایجاد میدان الکتریکی. (c) اگر حامل های بار مثبت باشند و جریان در همان جهت اولیه باشد.